Ферманың теоремасын түсіндіріп беріңіздерші

Математика бөлімінде 27 Қар, 2015 kz2015 (75 ұпай) сұрағын қойды

Ферманың теоремасын түсіндіріп беріңіздерші, қысқаша

1 жауап

29 Қар, 2015 berik258 (316 ұпай) жауап берді

Ферманың Ұлы теоремасы́ (немесе Ферманың соңғы теоремасы) — математикадағы ең әйгілі деуге болытын теоремасы; оның шарты орта мектеп білімі деңгейінде тұжырымдалғанымен, дәлелдеу үшін көптеген мықты математиктер ұзақ уақыт бастарын қатырды. Теорема былай дейді:

Кез келген бүтін

$n>2$ үшін $a^n+b^n=c^n\,\!$ теңдеуінің натурал $a$ , $b$ және $c$ шешуі болмайды.

Пьер Ферманың 1637 тұжырымдаған осы теоремасы Диофанттың «Арифметика» атты кітабы беттерінде "мен тапқан алғырлық дәлелдеме осы бетке сыйдыруға өте ұзақ болады" деген сөздермен басылып шығады. Кейін Ферма $n=4$ үшін шешуін жариялайды, алдыңғы алғырлық дәлелдеуі туралы осы жолы ол тіс жармағандықтан жалпы түрде дәлелдегені күмәнді.

Эйлер 1770 жылы теореманы $n=3$ үшін, ал Дирихле мен Лежандр 1825 жылы $n=5$ үшін дәлелдейді. Өз үлестерін дәлелдеуге Ламе, Софи Жермен, Куммер және т. б. көптеген алдыңғы қатарлы математиктер қосты. Теореманы дәлелдеуге деген талпыныс қазіргі сандар теориясының көптеген нәтижелерін табуға алып келді.

Фальтингстың 1983 жылы дәлелдеген Морделла гипотезасынан $a^n+b^n=c^n$ теңдеуінің $n>3$ болғанда тек шектеулі өзара жай шешуі болатындығы шығады.

Дәлелдеудің соңғы қадамын тек 1994 жылдың қыркүйегінде Уайлс Эндрю жасады. 130-беттік дәлелдеу «Annals of Mathematics» журналында жарыққа шығады.

Ферманың кіші теоремасы — сандар теориясының классикалық теоремасы былай дейді:

Егер p — жәй сан және a p-ға бөлінбесе, онда a ^{p — 1} ≡ 1 (mod p) (немесе a ^{p — 1} — 1 p-ға бөлінеді).

Басқаша тұжырымдасақ,

Кез келген жәй p мен бүтін a үшін a ^p — a p-ға бөлінеді.

Дәлелдеуі

Кез келген жәй p және бүтін теріс емес a үшін $a^p-a$ p-ға бөлінетіндігін көрсетейік. a бойынша индукциямен дәлелдейік.

Негізі a=0 үшін $a^p-a = 0$ p-ға бөлінеді.

Көшу. Тұжырым a=k үшін орындалсын. a=k+1 үшін дәлелдейік.

$a^p-a = (k+1)^p-(k+1) = k^p+1+\sum_{l=1}^{p-1} {p \choose l} k^l - k-1 =$

$= k^p - k + \sum_{l=1}^{p-1}k^l {p \choose l}$

Бірақ $k^p-k$ p-ға индукция жорамалы бойыншы бөлінеді. Басқа қосылғыштарды айтсақ, онда ${p \choose l} = {p! \over l!(p-l)!}$ . $1 \le l \le p-1$ үшін, осы бөлшектің алымы p-ға бөлінеді, ал бөлімі — бөлінбейді, олай болса, ${p \choose l}$ $p$ -ға бөлінеді. Сондықтан барлық қосылғыштар $k^p - k + \sum_{l=1}^{p-1} {p \choose l}$ p-ға бөлінеді.

Теріс a және тақ p үшін теореманы b=-a деп қойып оңай дәлелдейді. Теріс a мен p=2 үшін теореманың растығы $a^2-a=a(a-1)$ екендігінен шығады. Дәлелдеу керектігі де осы.

Теорема жалпыламасы

Теореманың аздаған жалпыламасы мынадай: егер p жәй сан болса, ал m мен n — $m\equiv n\pmod{p-1}$ болатындай оң бүтін сандар болса, $a^m\equiv a^n\pmod{p} \quad\forall a\in\mathbb{Z}$ . Осы түрде теорема ашық кілтті шифрлеу RSA жүйесінде пайдаланылады.